Question

設數列{a_n}共有n（）項，且，對每個i (1≤i≤，iN)，均有．
（1）當時，寫出滿足條件的所有數列{a_n}（不必寫出過程）；
（2）當時，求滿足條件的數列{a_n}的個數．

Answer 1

（1）共有3個：； 1，1，1； 1，2，1;（2）數列{a_n}的個數為393．

解析試題分析：（1）根據題意可得當時，有，因為題中要求，，也就是說，，這樣即可得或或，故此時滿足條件的數列{a_n}共有3個：； 1，1，1； 1，2，1;（2）由題中要求可聯想到令b_i＝ (1≤i≤7)，則對每個符合條件的數列{a_n}，滿足條件：，且b_i∈ (1≤i≤7)，則此時可設符合條件的數列{b_n}的個數為N， b_i (1≤i≤7)中有k個2；從而有k個，7－2k個1，當k給定時，{b_n}的取法有種，故此時．
試題解析：（1）當時，．
因為，，即，，
所以或或．
故此時滿足條件的數列{a_n}共有3個：； 1，1，1； 1，2，1．          3分
（2）令b_i＝ (1≤i≤7)，則對每個符合條件的數列{a_n}，滿足條件：
，且b_i∈ (1≤i≤7)．
反之，由符合上述條件的7項數列{b_n}可唯一確定一個符合條件的8項數列{a_n}．   7分
記符合條件的數列{b_n}的個數為N．
顯然，b_i (1≤i≤7)中有k個2；從而有k個，7－2k個1．
當k給定時，{b_n}的取法有種，易得k的可能值只有0，1，2，3，
故．
因此，符合條件的數列{a_n}的個數為393．                                   10分
考點：1.數列的遞推關系;2.排列組合的應用;3.代數式的處理