Question

【題目】已知曲線與曲線恰好有兩個不同的公共點，則實數的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用絕對值的幾何意義，由x＝|y|﹣2可得，y≥0時，x＝y﹣2；y＜0時，x＝﹣y﹣2，函數x＝|y|﹣2的圖象與方程y2+λx2＝4的曲線必相交于（0，±2），為了使曲線C1：|y|﹣x＝2與曲線C2：λx2+y2＝4恰好有兩個不同的公共點，則兩曲線無其它交點．x＝y﹣2代入方程y2+λx2＝4，整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4＝0，分類討論，可得結論，根據對稱性，同理可得y＜0時的情形．

解：由x＝|y|﹣2可得，y≥0時，x＝y﹣2；

y＜0時，x＝﹣y﹣2，

∴函數x＝|y|﹣2的圖象與方程y2+λx2＝4的曲線必相交于（0，±2），

所以為了使曲線C1：|y|﹣x＝2與曲線C2：λx2+y2＝4恰好有兩個不同的公共點，

則將x＝y﹣2代入方程y2+λx2＝4，

整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4＝0，

當λ＝﹣1時，y＝2滿足題意，

∵曲線C1：|y|﹣x＝2與曲線C2：λx2+y2＝4恰好有兩個不同的公共點，

∴△＞0，2是方程的根，

∴0，即﹣1＜λ＜1時，方程兩根異號，滿足題意；

綜上知，實數λ的取值范圍是[﹣1，1）．

故選：C．