Question

：數列滿足：，.
（Ⅰ）若數列為常數列，求的值；
（Ⅱ）若，求證：；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：數列單調遞減.

Answer 1

：略

：解：（Ⅰ）因為數列為常數列，
所以，
解得或
由的任意性知，或.
所以，
或.                                               ………………… 3 分
（Ⅱ）用數學歸納法證明.
①      當時，，
符合上式.                                    ………………… 4 分
② 假設當時，，
因為，
所以，即.
從而，即.
因為，
所以，當時，成立.
由①，②知，.                            ………………… 9分
（Ⅲ）因為
 ()，
所以只要證明.
由（Ⅱ）可知，，
所以只要證明，
即只要證明. …………………12分
令，
，
所以函數在上單調遞增. ………………… 14分
因為，
所以，即成立.
故.
所以數列單調遞減.                             ………………… 16分