Question

【題目】已知函數.

（1）若是奇函數，求的值；

（2）若，，且對任意的實數都成立，求的取值范圍；

（3）對于任意的，總有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據奇函數的判斷方法，可得結果

（2）利用換元法，結合構造函數可得，然后根據討論對稱軸與的位置，可得結果.

（3）根據題意等價轉換為，結合分類討論的方法，討論與區間的位置關系，判斷函數的單調性并求出最值，可得結果.

（1），

由對任意恒成立，所以.

（2）依題意：

，

令，

則，

當對稱軸時，

，，

當對稱軸時，

，，則，

綜上：.

（3）法1：取，，

可得，，

所以，.

函數在區間上的最小值

最大值為在或，所以

，

解得：.

法2：分四種情況進行討論，

當時，即時，

在上單調增，

，，，

當時，即時，

在上單調減，

，，，

當，即時

，，

，

得，∴.

當，即時

，，

，

得，∴.

綜上，.