Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若函數有三個極值點，，，求實數的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）當時，在單調遞減；當時，在單調遞減，在單調遞增.（2）證明見解析

【解析】

（1）求導，對分類討論，確定或解的區間，即可求出結論；

（2）求，由，得出或，有三個極值點，轉化為有兩個異于2的實根.不妨設，，根據（1）得，且，從而，由零點存在定理可得，又時，，求出實數的取值范圍是.要證，只需證明，利用，是的兩個實根，可得，.令，則，，，只需證明，即證，，令，，利用求導，求出單調區間，最值,即可證明結論.

解：（1），

當時，，在單調遞減；

當時，令，得，

當時，；當時，.

故在單調遞減，在單調遞增.

（2）由已知得，，

令，得或.

要使函數有三個極值點，須有三個不相等實數根，

從而有兩個異于2的實根.不妨設，，

由（1）知：，且，從而.

而當時，，，；

由零點存在定理知.

又當時，，所以實數的取值范圍是.

要證，只需證.①

因為，是的兩個實根，且，

所以，從而，所以，

令，則，，.

要證①式成立，只需證，即證，.

令，，則，所以在遞增，

所以，所以.命題得證.