Question

【題目】已知函數,的最小正期為.

(1)求的單調增區間;

(2)方程在上有且只有一個解,求實數的取值范圍;

(3)是否存在實數滿足對任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)或;(3)存在,.

【解析】

（1）利用降冪公式和輔助角公式化簡得，再利用周期公式求得的值，從而得到的解析式，再利用整體代入求單調區間；

（2）方程;在上有且有一個解,轉化為函數與函數只有一個交點；

（3）由(1)可知,則；實數滿足對任意,都存在,使得成立，即成立，再將問題轉化為恒成立問題.

(1)函數

∵的最小正周期為.∴,∴.

那么的解析式

令得:

∴的單調增區間為.

(2)方程;在上有且有一個解,

轉化為函數與函數只有一個交點.

∵,∴

因為函數在上增,在上減,

且，

∴或,所以或.

(3)由(1)可知,∴.

實數滿足對任意,都存在,

使得成立.

即成立

令

設,那么

∵,∴,

可得在上恒成立.

令,其對稱軸，

∵上,

∴①當時,即,,解得;

②當,即時,,解得;

③當,即時,,解得;

綜上可得,存在,可知的取值范圍是.