Question

【題目】如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端點的點，且．

（1） 當∠BEA1為鈍角時，求實數λ的取值范圍；

（2） 若λ＝，記二面角B1－A1B－E的的大小為θ，求|cosθ|．

Answer 1

【答案】（1）(，)．（2）．

【解析】

試題解析：

解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由題設，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．

因為，所以E(0，3，5λ)．

從而＝(2，0，－5λ)，＝(2，－3，5－5λ)． 2分

當∠BEA1為鈍角時，cos∠BEA1＜0，

所以＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，

解得＜λ＜．

即實數λ的取值范圍是(，)． 5分

（2）當λ＝時，＝(2，0，－2)，＝(2，－3，3)．

設平面BEA1的一個法向量為n1＝(x，y，z)，

由 得

取x＝1，得y＝，z＝1，

所以平面BEA1的一個法向量為n1＝(1，，1)． 7分

易知，平面BA1B1的一個法向量為n2＝(1，0，0)．

因為cos< n1，n2>＝，

從而|cosθ|＝． 10分