Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的極坐標方程；

（2）將曲線上所有點的橫坐標不變，縱坐標縮短到原來的倍，得到曲線，若與的交點為（異于坐標原點），與的交點為，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）先利用消參法求得曲線的普通方程，再將，代入即可求得的極坐標方程；

（2）先根據變換求得曲線的普通方程，再轉化為極坐標方程. 將的極坐標方程代入與中求得，兩點的極徑，從而求得.

（1）曲線的參數方程為（為參數），

則曲線的普通方程為，

將，代入，

化簡得的極坐標方程為.

（2）將曲線上所有點的橫坐標不變，縱坐標縮短到原來的倍，得到曲線，

則曲線的普通方程為，

將，代入，

化簡得的極坐標方程為.

將的極坐標方程分別代入的極坐標方程和的極坐標方程中，可得，兩點的極徑分別為，，

所以.