Question

【題目】已知點在橢圓：（）上，且點到左焦點的距離為3.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設為坐標原點，與直線平行的直線交橢圓于不同兩點、，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）點A在橢圓上則點A的坐標滿足橢圓方程，再由利用兩點之間的距離公式列出方程，結合橢圓中a,b,c之間的關系即可求出a,b,c，從而求得橢圓方程；（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯立得關于y的一元二次方程，利用韋達定理求出、關于m的表達式，由弦長公式求出及點到的距離d，從而求得的面積的關于m的表達式，利用基本不等式可求得最大值.

（1）因為橢圓經過點，所以.

設（），則由得，解得.

又，于是，解得（舍負），進而.

故橢圓的標準方程為.

（2）因為，可設直線的方程為（），

代入并整理得.由得.

設、，則，.

所以.

又點到的距離，所以的面積.

故（當且僅當時取等號）.

所以面積的最大值為.