Question

【題目】已知各項都是正數的數列{an}的前n項和為Sn ， Sn=an2+ an ， n∈N*
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設數列{bn}滿足：b1=1，bn﹣bn﹣1=2an（n≥2），求數列{ }的前n項和Tn
（3）若Tn≤λ（n+4）對任意n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=an2+ an，

∴Sn+1=an+12+ an+1，

兩式相減得：an+1= ﹣ + （an+1﹣an），

∴（an+1+an）（an+1﹣an﹣ ）=0，

∵數列{an}的各項都是正數，

∴an+1﹣an= ，

又∵a1= + a1，

∴a1= ，

∴數列{an}是以 為首項、 為公差的等差數列，

∴an= +（n﹣1） =

（2）解：∵an= ，

∴bn﹣bn﹣1=2an=2 =n，

∴b2﹣b1=2，

b3﹣b2=3，

…

bn﹣bn﹣1=n，

累加得：bn﹣b1= ，

又∵b1=1，

∴bn=b1+ =1+ = ，

∴ = =2（ ﹣ ），

∴

（3）解：∵Tn= ，

∴Tn≤λ（n+4），

∴λ≥ = = ，

∵n+ ≥2 =4當且僅當n=2時取等號，

∴當n=2時 有最大值 ，

∴

【解析】（1）通過Sn=an2+ an、Sn+1=an+12+ an+1 ， 作差、分析可得an+1﹣an= ，進而可得結論；（2）通過an= ，可得bn﹣bn﹣1=n，累加即得：bn﹣b1= ，從而可得bn= ，裂項可得 =2（ ﹣ ），并項相加即得結論；（3）通過Tn= 、Tn≤λ（n+4），整理可得λ≥ ，利用基本不等式即得結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)．