Question

【題目】設函數f（x）=lnx﹣ ax2﹣bx
（1）當a=b= 時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當a=0，b=﹣1時，方程f（x）=mx在區間[1，e2]內有唯一實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞），

當a=b= 時，f（x）=lnx﹣ x2﹣ x，

∴f′（x）= ，

令f′（x）=0，解得：x=1或x=﹣2（舍去），經檢驗，x=1是方程的根．

當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0，

所以f（x）的單調遞增區間是（0，1），單調遞減區間是（1，+∞）

（2）解：當a=0，b=﹣1時，f（x）=lnx+x，

由f（x）=mx得mx=lnx+x，

又因為x＞0，所以m=1+ ，

要使方程f（x）=mx在區間[1，e2]內有唯一實數解，

只需m=1+ 有唯一實數解，

令g（x）=1+ （x＞0），∴g′（x）= （x＞0），

由g′（x）＞0，得：0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，

所以g（x）在區間[1，e]上是增函數，在區間[e，e2]上是減函數，

g（1）=1+ =1，g（e2）=1+ =1+ ，

g（e）=1+ =1+ ，

所以m=1+ 或1≤m＜1+

【解析】（1）將a，b的值代入，求出函數f（x）的表達式，導數，從而求出函數的單調區間；（2）將a，b的值代入函數的表達式，問題轉化為只需m=1+ 有唯一實數解，求出函數y=g（x）=1+ 的單調性，從而求出m的范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．