Question

【題目】已知定點， 為圓上任意一點，線段上一點滿足，直線上一點，滿足.

（1）當在圓周上運動時，求點的軌跡的方程；

（2）若直線與曲線交于兩點，且以為直徑的圓過原點，求證：直線與不可能相切.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由，直線上一點，滿足，可得 為線段 的垂直平分線，求出圓的圓心坐標為，半徑為，得到，利用橢圓的定義，求解點的軌跡的方程即可；（2）當直線的斜率存在時，設直線為，聯立直線與橢圓的方程，得，消去，利用判別式以及韋達定理，結合，可證明直線與一定相交，從而可得結論.

試題解析：（Ⅰ）由，直線上一點，滿足，可得 時線段 的垂直平分線，求出圓的圓心坐標為，半徑為，得到，點M的軌跡是以N、Q為焦點，長軸長為的橢圓，即2a=，2c=，∴b=．

所以點M的軌跡C的方程為：．

（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線l為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯立直線與橢圓的方程，

得消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0．

因為直線與橢圓有兩個不同的交點，所以

△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-6）＞0，化簡得：m2＜6k2+3①

由韋達定理得：．

∴．

∵，∴x1x2+y1y2=0，即，

整理得m2=2k2+2滿足①式，∴d=，即原點到直線l為的距離是，

∴直線l與圓x2+y2=4相交．

當直線的斜率不存在時，直線為x=m，與橢圓C交點為A（m，），B（m，）

∵，∴．

此時直線為x=，顯然也與圓x2+y2=4相交．

綜上，直線l與定圓E：x2+y2=4不可能相切．