Question

【題目】設函數f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）證明：f（x）在（﹣∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增；
（2）若對于任意x1 ， x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．

若m≥0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．

若m＜0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．

所以，f（x）在（﹣∞，0）時單調遞減，在（0，+∞）單調遞增

（2）解：由（1）知，對任意的m，f（x）在[﹣1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，故f（x）在x=0處取得最小值．

所以對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要條件是

即

設函數g（t）=et﹣t﹣e+1，則g′（t）=et﹣1．

當t＜0時，g′（t）＜0；當t＞0時，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增．

又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故當t∈[﹣1，1]時，g（t）≤0．

當m∈[﹣1，1]時，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；

當m＞1時，由g（t）的單調性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．

當m＜﹣1時，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．

綜上，m的取值范圍是[﹣1，1]

【解析】（1）利用f′（x）≥0說明函數為增函數，利用f′（x）≤0說明函數為減函數．注意參數m的討論；（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在[﹣1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，則恒成立問題轉化為最大值和最小值問題．從而求得m的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．