Question

【題目】已知點P是圓F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一點，點F2與點F1關于原點對稱，線段PF2的垂直平分線分別與PF1 ， PF2交于M，N兩點．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過點 的動直線l與點M的軌跡C交于A，B兩點，在y軸上是否存在定點Q，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得 ，

∴點M的軌跡C為以F1，F2為焦點的橢圓∵ ，

∴點M的軌跡C的方程為 ．

（2）直線l的方程可設為 ，設A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立 可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．

由求根公式化簡整理得 ，

假設在y軸上是否存在定點Q（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個點，則 即 ．

∵ ，

= = = ．

∴ 求得m=﹣1．

因此，在y軸上存在定點Q（0，﹣1），使以AB為直徑的圓恒過這個點．

【解析】（1）根據中垂線的性質不難得到動點到兩定點的距離之和為定值，且定值大于這兩定點的距離，可得出動點的運動軌跡為橢圓，結合已知可得到軌跡方程，（2）將直線l的方程可設為 y = k x +,設出A、B兩點的坐標，聯立直線方程與橢圓方程，使用韋達定理得出A、B橫坐標的和與積，假設在y軸上存在定點Q（0，m），則表示出 ,，且·=0，可解得定點Q的坐標.