Question

在等比數列{an}中，an＞0 (n∈N*) ， 公比q∈(0 ， 1) ，且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3與a5的等比中項為2 ， bn=lo

g

an 2

 ，數列{bn}的前n項和為sn ，則當

s1

1

+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

取最大值時n的值等于

，

.

8或9

．

Answer 1

分析：利用等比數列的性質把a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25轉化為a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，求出a₃+a₅=5，再利用a₃與a₅的等比中項為2即可首項和公比，求出數列{a_n}的通項公式，進而求出數列{b_n}的通項公式以及前n項和為S_n，得到

sn

n

的通項，即可求出結論．

解答：解：∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25
∵a_n＞0，∴a₃+a₅=5，
∵a₃與a₅的等比中項為2，∴a₃a₅=4
∵q∈（0，1），∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，
∴q=

1

2

，a₁=16，
∴a_n=16×（

1

2

）^n-1=2^5-n，
又b_n=log₂a_n=5-n，∴b_n+1-b_n=-1，
∴{b_n}是以4為首項，-1為公差的等差數列，
∴s_n=

n(9-n)

2

，∴

sn

n

=

9-n

2

，
∴當n≤8時，

sn

n

＞0；當n=9時，

sn

n

=0；當n＞9時，

sn

n

＜0，
當n=8或9時，

s1

1

+

s2

2

+…+

sn

n

最大．　　
故答案為：8或9

點評：本題考查等比數列、等差數列的通項，在等差數列、等比數列問題中基本量是解題的關鍵，一般是根據已知條件把基本量求出來，然后再解決問題．