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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），曲線的方程為.以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求直線和曲線的極坐標方程；

（2）曲線分別交直線和曲線于點，求的最大值及相應的值.

【答案】（1）， （2）時， 取得最大值

【解析】試題分析：（1）利用代入法消去參數可得直線的普通方程，將曲線的方程化為一般式，利用公式， ，即可得到直線和曲線的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，令，可得，由曲線的極坐標方程可得，所以，利用三角函數的有界性可得結果.

試題解析：（1）∵，∴直線的普通方程為： ，

直線的極坐標方程為.

曲線的普通方程為，

∵， ，∴的參數方程為：

（2）直線的極坐標方程為，令，則

，即；

又，

∴

∵，∴，

∴，即時， 取得最大值

練習冊系列答案
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【題目】《聰明花開——莆仙話挑戰賽》欄目共有五個項目，分別為“和一斗”“斗麻利”“文儒生”“放獨步”“正功夫”．《聰明花開》欄目組為了解觀眾對項目的看法，設計了“你最喜歡的項目是哪一個”的調查問卷(每人只能選一個項目)，對現場觀眾進行隨機抽樣調查，得到如下數據(單位：人)：

和一斗

斗麻利

文儒生

放獨步

正功夫

115

230

115

345

460

(1)在所有參與該問卷調查的人中，用分層抽樣的方法抽取n人座談，其中恰有4人最喜歡“斗麻利”，求n的值及所抽取的人中最喜歡“和一斗”的人數；

(2)在(1)中抽取的最喜歡“和一斗”和“斗麻利”的人中，任選2人參加欄目組互動，求恰有1人最喜歡“和一斗”的概率．

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【題目】設，其中實數滿足，若的最大值為，則 .

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【題目】已知平面上動點到點的距離與到直線的距離之比為，記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設是曲線上的動點，直線的方程為.

①設直線與圓交于不同兩點， ，求的取值范圍；

②求與動直線恒相切的定橢圓的方程；并探究：若是曲線： 上的動點，是否存在直線： 恒相切的定曲線？若存在，直接寫出曲線的方程；若不存在，說明理由.

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【題目】某機構組織語文、數學學科能力競賽，按照一定比例淘汰后，頒發一二三等獎.現有某考場的兩科考試成績數據統計如下圖所示，其中數學科目成績為二等獎的考生有人.

（Ⅰ）求該考場考生中語文成績為一等獎的人數；

（Ⅱ）用隨機抽樣的方法從獲得數學和語文二等獎的學生中各抽取人，進行綜合素質測試，將他們的綜合得分繪成莖葉圖，求樣本的平均數及方差并進行比較分析；

（Ⅲ）已知本考場的所有考生中，恰有人兩科成績均為一等獎，在至少一科成績為一等獎的考生中，隨機抽取人進行訪談，求兩人兩科成績均為一等獎的概率.

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【題目】若數列是公差為2的等差數列，數列滿足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

（1）求數列,的通項公式；

（2）設數列滿足，數列的前n項和為，若不等式

對一切n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍.

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【題目】已知函數

（1）判斷函數的奇偶性，并加以證明；

（2）用定義證明在上是減函數；

（3）函數在上是單調增函數還是單調減函數？（直接寫出答案，不要求寫證明過程）．

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【題目】已知圓內接四邊形ABCD的邊

（Ⅰ）求角C的大小和BD的長；

（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積及外接圓的半徑.

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