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【題目】魏晉時期數學家劉徽在為《九章算術》作注時，提出利用“牟合方蓋”解決球體體積，“牟合方蓋”由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側面上，正視圖和側視圖都是圓，每一個水平截面都是正方形，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．二百多年后，南北朝時期數學家祖暅在前人研究的基礎上提出了《祖暅原理》：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等．如圖有一牟合方蓋，其正視圖與側視圖都是半徑為的圓，正邊形是為體現其直觀性所作的輔助線，根據祖暅原理，該牟合方蓋體積為__________．

【答案】

【解析】

取立方體與內切的牟合方蓋的來做研究，由祖暅原理可知，與立方體同底等高正四棱錐體積與方蓋差(立方體之內牟合方蓋之外部)的體積相等，即可求出牟合方蓋體積.

取立方體與內切的牟合方蓋的來做研究，設在高為處的一個平面截兩個立體，截面如圖陰影部分所示，

與該立方體等底等高的四棱錐的截面是正方形，其面積是，

方蓋差(立方體之內牟合方蓋之外部)上的截面是拐尺形，其面積計算如下：

在中，，，

所以圖中陰影的拐形面積，顯然等于正四棱錐截面面積，

從而由祖暅原理可知，正四棱錐體積與方蓋差的體積相等，

所以方蓋差的體積為，

從而可得牟合方蓋體積為.

故答案為：

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知冪函數滿足．

（1）求函數的解析式；

（2）若函數，是否存在實數使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（3）若函數，是否存在實數，使函數在上的值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某地居民用水采用階梯水價，其標準為：每戶每月用水量不超過15噸的部分，每噸3元；超過15噸但不超過25噸的部分，每噸4.5元；超過25噸的部分，每噸6元.

（1）求某戶居民每月需交水費（元）關于用水量（噸）的函數關系式；

（2）若戶居民某月交水費67.5元，求戶居民該月的用水量．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（）．

（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；

（2）當時，解不等式；

（3）若不等式的解集為，若，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（a＞b＞0）經過點，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），點P是橢圓C上位于第三象限的動點，直線AP、BP分別將x軸、y軸于點M、N，求證：|AN||BM|為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若對任意，≥0恒成立，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某工廠的,,三個不同車間生產同一產品的數量(單位:件)如下表所示.質檢人員用分層抽樣的方法從這些產品中共抽取6件樣品進行檢測:

車間

數量

50

150

100

(1)求這6件樣品中來自,,各車間產品的數量;

(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件進行進一步檢測,求這2件產品來自相同車間的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sinxcosx（x∈R）.

（1）求f（x）的單調遞增區間；

（2）求函數f（x）在區間[，]上的最大值和最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分14分）已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調遞增區間；

（Ⅱ）證明：當時，；

（Ⅲ）確定實數的所有可能取值，使得存在，當時，恒有．

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