Question

【題目】已知函數，，.

（1）討論函數的單調性；

（2）證明：函數在定義域上只有一個零點

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）首先求出函數的導函數，令得或，再對分類討論可得；

（2）由（1）函數的單調性結合零點存在性定理，分類討論計算可得；

解：（1），，

令得或，易知，當時，；當時，，

①當時，，故在單調遞減；

②當時，令得或，令得，

故在，單調遞減，在單調遞增；

③當時，令得或，令得，

故在，單調遞減，在單調遞增.

綜上，當時，在單調遞減；

當時，在，單調遞減，在單調遞增；

當時，在，單調遞減，在單調遞增.

（2）由（1）知，①當時，在單調遞減；

且，

，即，故函數在上只有一個零點.

②當時，在，單調遞減，在單調遞增；故的極小值為，因此在上無零點；的極大值為，又，，故在上有一個零點，因此，函數在上只有一個零點.

③當時，在，單調遞減，在單調遞增.故的極小值為，又，，故在上有一個零點，的極大值為，又，故在上無零點，因此，函數在上只有一個零點.

綜上，函數在上只有一個零點.