Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中∥，是的中點，和交于點，且平面．

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由已知證明四邊形是平行四邊形，進一步證得四邊形為正方形，得，求解三角形證明，由線面垂直的判定可得平面，得到，再由直線與平面垂直的判定可得平面，從而得到平面平面；

（2）由于兩兩垂直，故以為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，然后求出平面的法向量，再利用向量的夾角公式可求得結果.

（1）因為是的中點，所以四邊形是平行四邊形，又因為，所以四邊形是正方形，所以；

又因為，所以，

又因為，所以，故

因為平面平面，所以；

又因為平面

所以平面

因為平面，所以平面平面．

（2）由（1）知兩兩垂直，故以為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，

由（1）知四棱錐為正四棱錐，故，所以為等腰直角三角形，故，則，

所以

設平面的法向量為，由，得

，即，令，則，

設直線與平面所成角為，

那么，

因為，所以，

所以直線與平面所成角．