Question

【題目】已知橢圓過點，且右焦點為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓交于兩點，交軸于點．若，求證：為定值；

（3）在（2）的條件下，若點不在橢圓的內部，點是點關于原點的對稱點，試求三角形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）由題意b=2，c=2，所以，橢圓C的方程為。

(2)設A、B、P的坐標分別為。

由知，。

又點A在橢圓C上，則

，

整理得。

由，同理得到

。

由于A、B不重合，即，故m、n是二次方程

的兩根，所以m+n=-4，為定值。

（3）依題意，直線l的方程為，即，與橢圓C的方程聯立，消去y并整理，得

，

，

所以，而

。

由已知，點P不在橢圓C的內部，得，即，所以的最小值為，故三角形QAB面積的最小值為。