Question

對于無窮數列和函數，若，則稱是數列的母函數.
（Ⅰ）定義在上的函數滿足：對任意，都有，且；又數列滿足：.
求證：(1)是數列的母函數；
(2)求數列的前項和.
（Ⅱ）已知是數列的母函數，且.若數列的前項和為，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）(1) 由題知，，是數列的母函數
(2) （Ⅱ），，從而是以為首項，為公比的等比數列
又故當時，有
，化簡得結論

試題分析：（Ⅰ）(1)由題知，且

.
是數列的母函數；
(2) 由(1) 知：是首項和公差均為的等差數列，故.
           ①
      ②
①-②得：.
.
（Ⅱ）由題知：，. .
從而是以為首項，為公比的等比數列.
.
又
故當時，有：

.
點評：求解本題首先要正確理解所給信息母函數的實質，將其性質代入相應的函數式中推理；第一問的數列求和用到了錯位相減法，這種方法是數列求和題常用到的方法，其適用于通項公式為關于n的一次函數式與指數式的乘積形式的數列