Question

【題目】函數f′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（1）=0，當x＜0時，xf′（x）+f（x）＞0，則使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B.（﹣1，0）∪（1，+∞）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D.（﹣1，0）∪（0，1）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設g（x）=xf（x），則g′（x）=xf′（x）+f（x），
∵當x＜0時，xf′（x）+f（x）＞0，
∴則當x＜0時，g′（x）＞0，
∴函數g（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上為增函數，
∵函數f（x）是奇函數，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）=（﹣x）[﹣f（x）]=xf（x）=g（x），
∴函數g（x）為定義域上的偶函數，
由f（1）=0得，g（1）=0，函數g（x）的圖象大致如右圖：
∵不等式f（x）＜0 ＜0，
∴ 或 ，
由函數的圖象得，﹣1＜x＜0或x＞1，
∴使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故選：B．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．