Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C的方程為，點．

求過點M且與圓C相切的直線方程；

過點M任作一條直線與圓C交于A，B兩點，圓C與x軸正半軸的交點為P，求證：直線PA與PB的斜率之和為定值．

Answer 1

【答案】（1），或；（2）見解析

【解析】

（1）顯然直線l的斜率不存在時，與圓相切，直線l的斜率存在時，設切線方程為y+3=k（x﹣2），利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過點P（2，﹣3）且與圓C相切的直線l的方程；

（2）設出AB的方程，代入圓的方程，轉化為根與系數之間的關系，利用設而不求思想結合直線斜率進行整理即可．

當直線l的斜率不存在時，顯然直線與圓相切，

當直線l的斜率存在時，設切線方程為，

圓心到直線的距離等于半徑，

，解得，切線方程為：

即過點且與圓C相切的直線l的方程；，或．

依題意可得當直線AB的斜率存在且不為0時，設直線AB：，代入，

整理得；

設，，又

，，

，

直線PA與PB的斜率之和為

，

，

，

，

，

為定值．