Question

【題目】已知函數；.

（1）判斷在上的單調性，并說明理由；

（2）求的極值；

（3）當時，，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）極小值.（3）

【解析】

（1）求導數，根據導函數符號確定單調性，（2）利用導數研究導函數單調性，根據單調性確定導函數符號變化規律，即得函數極值，（3）先根據特殊值得，再由（1）得，結合得,因此，最后利用（2）證明滿足條件.

解：（1）∵，

則.

當時，，，得，

∴在上單調遞減.

（2）∵，

則，

令，則.

∴即在上單調遞增.

又，

∴當時，，當時，.

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴有極小值.

（3）令，

即對成立.

①時，與矛盾，不成立.

②時，當時，

令，則，

∴在上單調遞增，

又，∴，即.

由（2）知.

當時，，而，等號不同時成立，

∴.

③時，若，則，

即，

由（1）知，

即.

∴，

∴不成立.

綜上，的取值范圍為.