Question

【題目】已知橢圓：（）的左，右頂點分別為，，長軸長為，且經過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若為橢圓上異于，的任意一點，證明：直線，的斜率的乘積為定值；

（3）已知兩條互相垂直的直線，都經過橢圓的右焦點，與橢圓交于，和，四點，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）定值，證明見解析；（3）

【解析】

（1）由長軸長為4可求，再由待定系數法把點代入橢圓方程即可求橢圓的標準方程；

（2）設點，，點在橢圓上可得

代入上式化簡即可.

（3）當，中有一條斜率不存在時，；

當，的斜率都存在時，設過點的兩條互相垂直的直線：，直線：，聯立求出與，所以代入整理成關于的式子，求式子的值域即可.

解：（1）由題意知：，

橢圓的標準方程為.

（2）由已知，，設點，則

，又在橢圓上，

即，

（定值）.

（3）當，中有一條斜率不存在時，易求得；

當，的斜率都存在時，設過點的兩條互相垂直的直線：，直線：

由得

顯然，，

則.

把上式中的換成得：

則四邊形的面積為

令，則，且，

，

，

所以四邊形的面積的取值范圍是.