Question

定義為有限項數列的波動強度.
（Ⅰ）當時，求；
（Ⅱ）若數列滿足，求證：；
（Ⅲ）設各項均不相等，且交換數列中任何相鄰兩項的位置，都會使數列的波動強度增加，求證：數列一定是遞增數列或遞減數列

Answer 1

（Ⅰ）解：      ………………1分
.            ………………3分
（Ⅱ）證明：因為，
，
所以. ……………4分
因為，所以，或.
若，則
當時，上式，
當時，上式，
當時，上式，
即當時，.  ……………………6分
若，
則，
.（同前）
所以，當時，成立.    …………………7分
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）易知對于四個數的數列，若第三項的值介于前兩項的值之間，則交換第二項與第三項的位置將使數列波動強度減小或不變.（將此作為引理）
下面來證明當時，為遞減數列.
（�。┳C明.
若，則由引理知交換的位置將使波動強度減小或不變，與已知矛盾.
若，則，與已知矛盾.
所以，.                                      ………………………9分
（ⅱ）設，證明.
若，則由引理知交換的位置將使波動強度減小或不變，與已知矛盾.
若，則，與已知矛盾.
所以，.                                             …………………11分
（ⅲ）設，證明.
若，考查數列，
則由前面推理可得，與矛盾.
所以，.                                            …………………12分
綜上，得證.
同理可證：當時，有為遞增數列.                 ……………………13分

略