Question

【題目】已知在正項數列中，首項，點在雙曲線上，數列中，點在直線上，其中是數列的前項和．

（1）求數列、的通項公式；

（2）若，求證： 數列為遞減數列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由題意可得﹣＝1，即數列{}是等差數列，同樣Tnbn+1，利用兩式作差即可得到的通項公式；

（2）根據（1）求得{an}的通項公式和數列{bn}的通項公式，進而可得{cn}的通項公式，進而可得cn+1﹣cn的表達式，根據表達式小于零，原式得證．

解：（1）由已知點An（，）在曲線y2﹣x2＝1上知﹣＝1．

所以數列{}是一個以2為首項，公差為1的等差數列，

所以＝+（n﹣1）d＝2+n﹣1＝n+1，

點（bn，Tn）在直線yx+1上，所以Tnbn+1①

Tn﹣1bn﹣1+1②

兩式相減得bnbnbn﹣1

∴bnbn﹣1

令n＝1得b1b1+1所以b1．

所以數列{bn}是以為首項，以為公比的等比數列，

所以bn（）n﹣1；

（2）證明：cn＝anbn＝（n+1），

所以cn+1﹣cn＝（n+2）（n+1）

[（n+2）﹣3（n+1）]

（n+2﹣3n﹣3）

（﹣2n﹣1）＜0

故cn+1＜cn．

∴數列為遞減數列．