Question

已知等比數列{a_n}滿足a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設數列{a_n}的前n項和為S_n，若不等式S_n＞ka_n－2對一切n∈N^*恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（1）a_n＝3·2^n－1，n∈N^*（2）

(1)設等比數列{a_n}的公比為q，
∵a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*，∴a₂＋a₁＝9，a₃＋a₂＝18，
∴q＝＝2，∴2a₁＋a₁＝9，∴a₁＝3.∴a_n＝3·2^n－1，n∈N^*.
(2)由(1)知S_n＝＝3(2ⁿ－1)，
∴3(2ⁿ－1)＞k·3·2^n－1－2，∴k＜2－.
令f(n)＝2－，則f(n)隨n的增大而增大，
∴f(n)_min＝f(1)＝2－＝.∴k＜.
∴實數k的取值范圍為.