Question

【題目】設函數， .

(1)當 (為自然對數的底數)時，求曲線在點處的切線方程；

(2)討論函數的零點的個數；

(3)若對任意， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(I) ；(II)見解析；（III）。

【解析】試題分析：（1）當時， ， ，由此利用導數性質能求出的極小值；（2）由，得，令，則， ，由此利用導數性質能求出函數零點的個數；（3）當時， 在上恒成立，由此能求出的取值范圍.

試題解析：(1)當時， ，所以， ，切點坐標為所以曲線在點處的切線方程為.

(2)因為函數令，得，設所以，當時， ，此時在上為增函數；當時， ，此時在上為減函數，所以當時， 取極大值，

令，即，解得或，由函數的圖像知：

當時，函數和函數無交點；

當時，函數和函數有且僅有一個交點；

當時，函數和函數有兩個交點；

④當時，函數和函數有且僅有一個交點。

綜上所述，當時，函數無零點；

當或時，函數有且僅有一個零點

當時，函數有兩個零點

（3）對任意恒成立，等價于恒成立，設則在上單調遞減，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因為，所以，當且僅當時， ，

所以實數的取值范圍.