Question

已知函數，.
（Ⅰ）求的極值；
（Ⅱ）當時，若不等式在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）有極大值為;（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）首先明確函數的定義域，然后利用求導的方法研究函數的單調性，進而確定函數的極值；（Ⅱ）利用轉化思想將原不等式轉化為在上恒成立，然后借助構造函數求解函數的最大值進而探求的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為。                   1分
，令得                       3分
當為增函數.                      4分
當為減函數，                    5分
可知有極大值為                        6分
（Ⅱ）由于,所以不等式在區間上恒成立，即在上恒成立，
設
由（Ⅰ）知，在處取得最大值，∴              12分
【參考題】（Ⅲ）已知且，求證：.
∵，由上可知在上單調遞增，
∴ ，即 ①，
同理 ②
兩式相加得，∴