Question

已知
（1）若時，求函數在點處的切線方程；
（2）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；
（3）令是否存在實數，當是自然對數的底）時，函數的最小值是3，
若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在，.

試題分析：（1）時，利用求導法則得到的導函數，計算知，即切線斜率為1，再得到，從而通過直線的點斜式方程得到所求切線方程；（2）函數在上是減函數，即導函數在上是恒小于或等于0.,在上分母恒為正，所以分子，令，則為開口向上的二次函數.所以本題轉化為二次函數在閉區間的最值問題.，故兩個可能的最大值，得實數的取值范圍；（3）對求導，討論的范圍，研究導數的正負從而確定在上的單調性，得到其最小值，由條件最小值是3得到的值，注意此時還要判斷是否在所討論的范圍內，若不在則要予以舍去.
試題解析：（1）當時，        1分
    函數在點處的切線方程為    3分
（2）函數在上是減函數
在上恒成立                     4分
令，有得                            6分
                                                            7分
（3）假設存在實數，使在上的最小值是3
                                              8分
當時，，在上單調遞減，
（舍去）                                                    10分
當且時，即，在上恒成立，在上單調遞減
，（舍去）                       11分
當且時，即時，令，得；，得
在上單調遞減，在上單調遞增
，滿足條件                     13分
綜上所述，存在實數，使在上的最小值是3     14分