Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x﹣4．設圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=﹣x+5上，求圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
（3）若圓C上存在點M，使|MA|=|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由

得圓心C為（3，2），

∵圓C的半徑為，∴圓C的方程為：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1

（2）解：由題意知切線的斜率一定存在，

設所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx﹣y+3=0

∴ =1

∴2k（4k+3）=0

∴k=0或者k=﹣

∴所求圓C的切線方程為：y=3或y=﹣ x+3，即y=3或者3x+4y﹣12=0

（3）解：設M為（x，y），由 =

整理得直線m：y=

∴點M應該既在圓C上又在直線m上，即：圓C和直線m有公共點

∴|2a﹣4﹣ |≤1，∴ ≤a≤

綜上所述，a的取值范圍為：[ ， ]

【解析】（1）聯立直線l與直線y=﹣x+5，求出方程組的解得到圓心C坐標，可得圓C的方程；（2）根據A坐標設出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；（3）設M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關系式，整理后得到點M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．