Question

【題目】設函數（為常數），為自然對數的底數.

（1）當時，求實數的取值范圍；

（2）當時，求使得成立的最小正整數.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 最小正整數的值為1.

【解析】試題分析：

（1）解不等式，考慮到恒成立，可對分類討論： 和；（2）題意就是恒成立，求的最小值正整數，只要求得的最小值即可，由于要求得的零點，因此還要對此函數進行分析，設，利用導數確定它的單調性，從而確定零點的范圍， ，再求得最小值的范圍，可得結論．

試題解析：

（1）由可知，

當時， ，由，解得；

當時， ，由，解得或；

當時， ，由，解得或；

（2）當時，要使恒成立，即恒成立，

令，則，

當時， ，函數在上單調遞減；

當時， ，函數的上單調遞增．

又因為時， ，且，

所以，存在唯一的，使得，

當時， ，函數在上單調遞減；

當時， ，函數在上單調遞增．

所以，當時， 取到最小值．

，

因為，所以，

從而使得恒成立的最小正整數的值為1．