Question

【題目】如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中點，F是棱CD上的動點，G為C1D1的中點，H為A1G的中點．

（1）當點F與點D重合時，求證：EF⊥AH；
（2）設二面角C1﹣EF﹣C的大小為θ，試確定點F的位置，使得sin θ= ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以點A為坐標原點，建立如圖（2）所示的空間直角坐標系，

則A1（0，0，1），C1（1，1，1），D（0，1，0），E ，

G ，H ，

設F（x，1，0）（0≤x≤1），當點F與點D重合時，易知F（0，1，0），

= ， = ，

∴ =0，∴EF⊥AH．

（2）解：易知 = ， = ，且x≠1．

設 =（a，b，c）是平面C1EF的法向量，則 ，∴ ，

令c=1，則平面C1EF的一個法向量 = ．

又 =（0，0，1）是平面EFC的一個法向量，

∴cos＜ ， ＞= = ，

∵sin θ= ，θ為銳角，∴cosθ= ．

∴ = ，解得x= 或x= （舍去）．

故當F是CD的中點時，sin θ= ．

【解析】（1）以點A為坐標原點，建立如圖（2）所示的空間直角坐標系，設F（x，1，0）（0≤x≤1），當點F與點D重合時，易知F（0，1，0），只要證明 =0，即可得出EF⊥AH．（2）sin θ= ，θ為銳角，可得cosθ= ．設 =（a，b，c）是平面C1EF的法向量，則 ，可得平面C1EF的一個法向量 = ．又 =（0，0，1）是平面EFC的一個法向量，利用cos＜ ， ＞= ，解出即可得出．
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關系是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．