Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的左、右頂點為A，B，右焦點為F.過點A且斜率為k（）的直線交橢圓C于另一點P.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）若，求的值；

（3）設直線l:，延長AP交直線l于點Q，線段BQ的中點為E，求證：點B關于直線EF的對稱點在直線PF上.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）詳見解析

【解析】

第一問利用離心率的公式直接求解；第二問將直線AP的方程為與橢圓C的方程聯立求出點P的坐標，再利用兩點間的距離公式即可求出的值；第三問先求出點的坐標，再利用中點坐標公式求出點的坐標，然后求出點P的坐標及直線PF的斜率、直線EF的斜率，最后根據得出即可證明.

（1）因為橢圓C：，所以，，.又，所以，，所以橢圓C的離心率.

（2）因為直線AP的斜率為，且過橢圓C的左頂點，

所以直線AP的方程為.代入橢圓C的方程，

得，即，解得或（舍去），將代入，得，所以點P的坐標為.又橢圓C的右頂點B（2t,0），

所以，，所以.

（3）直線AP的方程為，將代入，得，所以.因為E為線段BQ的中點，所以，因為焦點F的坐標為（t,0），

所以直線EF的斜率.聯立消y得，.由于，，所以，所以點P的坐標為，

所以直線PF的斜率.而直線EF的斜率為2k，

若設，則有，即，

所以點B關于直線EF的對稱點在直線PF上.