Question

【題目】已知函數，，

（1）若函數f（x）有兩個零點，求實數a的取值范圍；

（2）若a=3，且對任意的x1∈[-1，2]，總存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）令t=x2，則t∈[1，3]，記，問題轉化為函數y=h（t）與y=a有兩個交點，利用函數的導數判斷函數的單調性求解函數的最小值然后求解實數a的范圍．

（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，記A=[1，2]，通過當m=0時，當m＞0時，當m＜0時，分類求實數m的取值范圍，推出結果即可．

（1）由題意，函數，，

令t=x2，則t∈[1，3]，則，

要使得函數f（x）有兩個零點，即函數y=h（t）與y=a有兩個交點，

因為，當t∈（1，2）時，＜0；當t∈（2，3）時，＞0，

所以函數h（t）在（1，2）遞減，（2，3）遞增，

從而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，

由圖象可得，當時，y=h（t）與y=a有兩個交點，

所以函數f（x）有兩個零點時實數a的范圍為：．

（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，記A=[1，2]，

當m=0時，，顯然成立；

當m＞0時，在[-1，2]上單調遞增，所以，

記，

由對任意的，總存在，使成立，可得，

所以且，解得，

當m＜0時，在[-1，2]上單調遞減，所以，

所以且，截得，

綜上，所求實數m的取值范圍為．