Question

【題目】已知，.

（1）若直線與圓：相切，求被圓：所截得弦長取最小值時直線的斜率；

（2）時，：表示圓，問是否存在一條直線，使得它和所有的圓都沒有公共點？如果存在，求出直線，若不存在，說明理由；

（3）若滿足不等式和等式的點集是一條線段，求取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，：；（3）.

【解析】

(1)畫出圖像分析可得, 直線與直線垂直時被圓：所截得弦長取最小值.

再根據垂直的直線斜率之積為-1求解即可.
(2)當時代入有

,即又,故猜測存在一條直線,使得它和所有的圓都沒有公共點,再證明即可.

(3) 的解集為或兩條直線, 為兩圓之間的部分,數形結合列式求解即可.

(1)由,

即圓心,半徑

即圓心,半徑

因為當被圓：所截得弦長取最小值時,圓心到直線的距離最大.

又到的距離,當且僅當直線與直線垂直時取得為最大值,此時斜率,故直線斜率
(2) 存在,：和所有的圓都沒有公共點.

證明：由題：,即

,

變形得

即,

故：

若與有交點,則

有解.上式減去倍的下式有：

有解.

即圓與直線有交點,圓半徑

但圓心到距離 .

故圓與直線無交點.

即和所有的圓都沒有公共點.

(3)由題得的解集為或兩條直線,得且

即為兩圓 與之間的部分.

又若不等式和等式的點集是一條線段,則需注意臨界條件.

當與圓相切時,或,

當與圓相切時,或

又因為到所求的所有的距離都大于半徑,故無需考慮圓對形成線段的影響.

故