Question

【題目】已知數列的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列.數列前n項和為，且滿足，.

（1）求數列的通項公式：

（2）若，求正整數m的值；

（3）是否存在正整數m，使得恰好為數列中的一項？若存在，求出所有滿足條件的m值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或

【解析】

試題（1）數列通項分奇偶求：方法為待定系數法，注意項數，由可解得公差及公比，從而，，因此（2）由于數列通項分奇偶，因此從奇偶分別討論：若則，解得；若，即，解得，舍（3）先求和 ，限定，而為正整數，即只能為，分類討論得或.

試題解析：（1）設的公差為d.

的公比為，則

由

故

故4分

（2）由，若，則

即，即

若，即

即

為正整數

為正整數，即

即，此時式為不合題意

綜上，. 9分

（3）若為中的一項，則為正整數

又

故若為中的某一項只能為

①若無解

②若，顯然不符合題意，符合題意

當時，即，則

即為增函數，故，即為增函數

故，故當時方程無解

即是方程唯一解

③若即

綜上所述，或. 16分