Question

【題目】設橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點， 到拋物線的準線的距離為.

（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；

（II）設上兩點， 關于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或.

【解析】試題分析：由于為拋物線焦點， 到拋物線的準線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標準方程和拋物線方程；則，設直線方程為設，解出兩點的坐標，把直線方程和橢圓方程聯立解出點坐標，寫出 所在直線方程，求出點的坐標，最后根據的面積為解方程求出，得出直線的方程.

試題解析：（Ⅰ）解：設的坐標為.依題意， ， ， ，解得， ， ，于是.

所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.

（Ⅱ）解：設直線的方程為，與直線的方程聯立，可得點，故.將與聯立，消去，整理得，解得，或.由點異于點，可得點.由，可學*科.網得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因為的面積為，故，整理得，解得，所以.

所以，直線的方程為，或.