Question

【題目】已知函數（且）.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若，討論函數的單調性與單調區間；

（Ⅲ）若有兩個極值點、，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；

（Ⅱ）求得，由，分和兩種情況討論，分析的符號變化，可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；

（Ⅲ）由題意可知，方程有兩正根、，利用韋達定理得出，且，將所證不等式轉化為，構造函數，利用導數證明出當時，即可.

由題可知：函數的定義域為

（Ⅰ）因為時，，所以，

那么，，

所以曲線在處的切線方程為：，

即；

（Ⅱ）因為，由可得：

①當，，時，有，，滿足，

和時，

即函數在和上為減函數；

時，，即函數在上為增函數；

②當時，，恒成立，所以函數在為減函數.

綜上可知：

當時，函數在和上為減函數，

在上為增函數；

當時，函數在上為減函數；

（Ⅲ）因為有兩個極值點、，

則有兩個正根、，則有，且，，即，

所以

若要，即要，

構造函數，則，易知在上為增函數，

且，，

所以存在使即，

且當時，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增.

所以函數在上有最小值為，

又因為則，所以在上恒成立，

即成立.