Question

（2012•海淀區一模）已知函數f(x)=sinx+sin(x-

π

3

)．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知f(A)=

3

2

，a=

3

b，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）解析式第二項利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的單調遞增區間列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）由第一問確定的函數解析式及f（A）=

3

2

，求出sin（A-

π

6

）的值，由A的范圍求出A-

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，再由a=

3

b，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b，利用三角形的邊角關系得出A大于B，利用特殊角的三角函數值求出B的度數，進而確定出C的度數，判定出三角形ABC的形狀．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x-

π

3

）=sinx+

1

2

sinx-

3

2

cosx
=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

（

3

2

sinx-

1

2

cosx）
=

3

sin（x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：2kπ-

π

3

≤x-

π

6

≤2kπ+

2π

3

，k∈Z，
則f（x）的單調遞增區間為[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（A）=

3

sin（A-

π

6

）=

3

2

，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A=

π

3

，又a=

3

b，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

1

2

，
又a＞b，A=

π

3

，
∴B=

π

6

，
∴C=

π

2

，
則△ABC為直角三角形．

點評：此題考查了三角形形狀的判定，涉及的知識有：正弦定理，正弦函數的單調性，兩角和與差的正弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．