Question

【題目】已知函數 ．
（1）判斷并證明函數f（x）的奇偶性
（2）判斷并證明當x∈（﹣1，1）時函數f（x）的單調性；
（3）在（2）成立的條件下，解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=x2+1為偶函數，y=x為奇函數

根據函數奇偶性的性質，我們易得

函數 為奇函數

（2）解：當x∈（﹣1，1）時

∵函數

f'（x）= ＞0恒成立

故f（x）在區間（﹣1，1）上為單調增函數

（3）解：在（2）成立的條件下，不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0可化為：

解得：

∴不等式的解集為

【解析】（1）由于函數的定義域為R，關于原點對稱，故我們可利用函數奇偶性的性質判斷方法來解答問題；（2）由函數f（x）的解析式，我們易求出原函數的導函數的解析式，結合x∈（﹣1，1），確定導函數的符號，即可判斷函數的單調性；（3）結合（1）、（2）的結論，我們可將原不等式轉化為一個關于x的不等式組，解不等式組即可得到答案．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數單調性的性質是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．