Question

【題目】已知橢圓，拋物線的焦點均在軸上， 的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上各取兩個點，其坐標分別是， ， ， ．

（1）求， 的標準方程；

（2）是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交于不同的兩點且滿足？若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的標準方程為 ； 的標準方程為 ；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（1）設拋物線，則有，據此驗證四個點即可求解（2）首先假設存在直線滿足條件，利用向量垂直時求出直線參數k即得結論

試題解析：

（Ⅰ）設拋物線，則有，

據此驗證四個點知， 在拋物線上，

易得，拋物線的標準方程為

設橢圓，把點， 代入可得

所以橢圓的標準方程為

（Ⅱ）由橢圓的對稱性可設的焦點為F（1，0），

當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為

直線l交橢圓于點

，不滿足題意

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為， 并設

由，消去y得， ，

于是

①，

由得 ②

將①代入②式，得，解得

所以存在直線l滿足條件，且l的方程為或