Question

【題目】關于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．
（1）當m=1時，解此不等式；
（2）設函數f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），當m為何值時，f（x）＜m恒成立？

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=1時，原不等式可變為0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，

由|x+3|＞|x﹣7|，兩邊平方，解得，x＞2，

由于||x+3|﹣|x﹣7||≤|（x+3）﹣（x﹣7）|=10，即有﹣10≤|x+3|﹣|x﹣7|≤10，

且x≥7時，|x+3|﹣|x﹣7|=x+3﹣（x﹣7）=10．

則有2＜x＜7．

故可得其解集為{x|2＜x＜7}；

（2）解：設t=|x+3|﹣|x﹣7|，

則由對數定義及絕對值的幾何意義知，0＜t≤10，

因y=lgx在（0，+∞）上為增函數，則lgt≤1，

當t=10，即x=7時，lgt=1為最大值，

故只需m＞1即可，

即m＞1時，f（x）＜m恒成立．

【解析】（1）當m=1時，原不等式可變為0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，通過兩邊平方和絕對值不等式的性質，即可得到解集；（2）設t=|x+3|﹣|x﹣7|，則0＜t≤10，f（x）＜m恒成立，只需m＞f（x）max ， 求得最大值即可．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．