Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，為線段上一點，且，平面，與平面所成的角為.

（1）求證:平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理，證明平面，進而可得平面平面；

（2）以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的一個法向量，根據向量夾角公式，求出兩向量夾角的余弦值，進而可得出結果.

(1)因為，，

所以

所以是直角三角形，；

在中，由，，

不妨設，由得，，，，

在中，由余弦定理得,

故,

所以，所以；

因為平面，平面，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以平面平面；

(2)因為平面，所以與平面所成的角為，即，

可得為等腰直角三角形，，

由(1)得，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，

則為平面的一個法向量。

設為平面的一個法向量，

因為，，

則由得

令，則，，

則為平面的一個法向量，

故

故二面角的平面角的余弦值為.