Question

【題目】如圖，已知與分別是邊長為1與2的正三角形， ，四邊形為直角梯形，且， ，點為的重心， 為中點， 平面， 為線段上靠近點的三等分點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若二面角的余弦值為，試求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：⑴連延長交于，推導出，又為中點，所以，又，所以，從而證明平面；

⑵為原點， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值

解析：（Ⅰ）解：在中，連延長交于，因為點為的重心

所以，且為中點，又，

所以，所以；

又為中點，所以，又，

所以，所以四點共面

又平面， 平面

所以平面

（Ⅱ）由題意， 平面，所以，平面平面，且交線為，

因為，所以平面，

又四邊形為直角梯形， ， ，所以，所以平面

因為， ，所以平面平面，

又與分別是邊長為1與2的正三角形，

故以為原點， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標系，

設，則， ， ， ， ， ，

因為

所以， ，

設平面的法向量，則，取，

平面的法向量，

所以二面角的余弦值 ，

，又，

直線與所成角的余弦值為.