Question

【題目】如圖1，在矩形中，，分別是的中點，分別是的中點，將四邊形，分別沿，折起，使平面平面，平面平面，如圖2所示，是上一點，且.

（1）求證：；

（2）線段上是否存在點，使得？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）結合平面圖形的性質，利用線面垂直的判定定理可得平面，則，再由面面垂直證明線面垂直，進而可得，利用勾股定理可得，從而可得結論；（2）當時，平面，在上取點，使得，連接，可證明平面，此時.

（1）折疊前，

所以，又，

所以，

因為，所以

因為平面平面，平面平面 ，，所以

所以

由（1）得，所以

在梯形中，易得，，所以，

，所以.

（2）

當時，.

在上取點，使得，連結，

所以

又，所以，

，，

是平行四邊形，所以，

此時

所以當時，