Question

【題目】為了了解居民的家庭收入情況，某社區組織工作人員從該社區的居民中隨機抽取了100戶家庭進行問卷調查.經調查發現，這些家庭的月收入在3000元到10000元之間，根據統計數據作出如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）經統計發現，該社區居民的家庭月收入（單位：百元）近似地服從正態分布，其中近似為樣本平均數.若落在區間的左側，則可認為該家庭屬“收入較低家庭”，社區將聯系該家庭，咨詢收入過低的原因，并采取相應措施為該家庭提供創收途徑.若該社區家庭月收入為4100元，試判斷家庭是否屬于“收入較低家庭”，并說明原因；

（2）將樣本的頻率視為總體的概率.

①從該社區所有家庭中隨機抽取戶家庭，若這戶家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%，求的最大值；

②在①的條件下，某生活超市贊助了該社區的這次調查活動，并為這次參與調查的家庭制定了贈送購物卡的活動，贈送方式為：家庭月收入低于的獲贈兩次隨機購物卡，家庭月收入不低于的獲贈一次隨機購物卡；每次贈送的購物卡金額及對應的概率分別為：

贈送購物卡金額（單位：元）	100	200	300
概率

則家庭預期獲得的購物卡金額為多少元？（結果保留整數）

Answer 1

【答案】（1）家庭不屬于“收入較低家庭”，詳見解析（2）①②元

【解析】

（1）根據頻率分布直方圖，計算該社區居民的家庭月收入平均值，計算，比較可得；

（2）①用樣本的頻率視為總體的概率，計算出月收入低于8000元的概率，根據相互獨立事件的概率公式得到不等式，解得即可；②由（1）可知該家庭可獲贈兩次隨機購物卡，設所獲得的購物卡金額為隨機變量，則的取值分別為200，300，400，500，600，分別計算出概率，求出期望即可；

解：（1）該社區居民的家庭月收入平均值為：

（百元）

又因為該社區居民的家庭月收入（單位：百元）近似地服從正態分布

所以，故

該社區家庭月收入為4100元百元，故家庭不屬于“收入較低家庭”.

（2）①將樣本的頻率視為總體的概率，由頻率分布直方圖可知，抽取一戶家庭其月收入低于8000元的概率為

隨機抽取戶家庭月收入均低于8000元的概率為，由題意知，解得

②由（1）知百元元，故家庭月收入低于，可獲贈兩次隨機購物卡，設所獲得的購物卡金額為隨機變量，則的取值分別為200，300，400，500，600

，

，

則家庭預期獲得的購物卡金額為元.