【題目】在平面直角坐標系
中，已知拋物線C：
（
）的焦點F在直線
上，平行于x軸的兩條直線
，
分別交拋物線C于A，B兩點，交該拋物線的準線于D，E兩點.
（1）求拋物線C的方程；
（2）若F在線段
上，P是
的中點，證明：
.
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
（1）根據拋物線的焦點在直線
上，可求得
的值，從而求得拋物線的方程；
（2）法一：設直線
，
的方程分別為
和
且
，
，
，可得
，
，
，
的坐標，進而可得直線
的方程，根據
在直線上，可得
，再分別求得
，
，即可得證；法二：設
，
，則
，根據直線的斜率不為0，設出直線的方程為
，聯立直線和拋物線
的方程，結合韋達定理，分別求出，，化簡
，即可得證.
（1）拋物線C的焦點坐標為
，且該點在直線上，
所以
，解得
，故所求拋物線C的方程為
（2）法一：由點F在線段上，可設直線，的方程分別為和且，，，則
，
，
，
.
∴直線的方程為
，即
.
又點
在線段上，∴.
∵P是
的中點，∴
∴
，
.
由于
，
不重合，所以
法二：設，，則
當直線的斜率為0時，不符合題意，故可設直線的方程為
聯立直線和拋物線的方程
，得
又
，
為該方程兩根，所以
，
，
，
.
，
由于，不重合，所以
輕松奪冠全能掌控卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，
底面ABC，
，H為PC的中點，M為AH的中點
，
.
（1）求PM與平面AHB成角的正弦值；
（2）在線段PB上是否存在點N，使得
平面ABC.若存在，請說明點N的位置，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據有關資料預測，某市下月1—14日的空氣質量指數趨勢如下圖所示.，根據已知折線圖，解答下面的問題：
（1）求污染指數的眾數及前五天污染指數的平均值；（保留整數）
（2）為了更好發揮空氣質量監測服務人民的目的，監測部門在發布空氣質量指數的同時，也給出了出行建議，比如空氣污染指數大于150時需要戴口罩，超過200時建議減少外出活動等等.如果某人事先沒有注意到空氣質量預報，而在1—12號這12天中隨機選定一天，欲在接下來的兩天中（不含選定當天）進行外出活動.求其外出活動的兩天期間.
①恰好都遭遇重度及以上污染天氣的概率；
②至少有一天能避開重度及以上污染天氣的概率.
附：空氣質量等級參考表：
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等級 | 優 | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在海岸線
一側有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段
，該曲線段是函數
，
的圖象，圖象的最高點為
.邊界的中間部分為長1千米的直線段
，且
.游樂場的后部分邊界是以
為圓心的一段圓弧
.
(1)求曲線段的函數表達式；
(2)如圖，在扇形
區域內建一個平行四邊形休閑區
，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑
上，另外一個頂點
在圓弧上，且
，求平行四邊形休閑區面積的最大值及此時
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，直線
的參數方程為
（
為參數）．
（1）求與的交點的直角坐標；
（2）求上的點到直線的距離的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了了解居民的家庭收入情況，某社區組織工作人員從該社區的居民中隨機抽取了100戶家庭進行問卷調查.經調查發現，這些家庭的月收入在3000元到10000元之間，根據統計數據作出如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）經統計發現，該社區居民的家庭月收入
（單位：百元）近似地服從正態分布
，其中
近似為樣本平均數.若落在區間
的左側，則可認為該家庭屬“收入較低家庭”，社區將聯系該家庭，咨詢收入過低的原因，并采取相應措施為該家庭提供創收途徑.若該社區
家庭月收入為4100元，試判斷家庭是否屬于“收入較低家庭”，并說明原因；
（2）將樣本的頻率視為總體的概率.
①從該社區所有家庭中隨機抽取
戶家庭，若這戶家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%，求的最大值；
②在①的條件下，某生活超市贊助了該社區的這次調查活動，并為這次參與調查的家庭制定了贈送購物卡的活動，贈送方式為：家庭月收入低于的獲贈兩次隨機購物卡，家庭月收入不低于的獲贈一次隨機購物卡；每次贈送的購物卡金額及對應的概率分別為：
贈送購物卡金額（單位：元） | 100 | 200 | 300 |
概率 |
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|
|
則家庭預期獲得的購物卡金額為多少元？（結果保留整數）
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