Question

【題目】已知函數f（x）=ln（1+x）﹣ ． （Ⅰ）若a=2，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≥0對x∈（﹣1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=2時， ，f（1）=ln2﹣1，， ，
∴k=f′（1）=0，
∴切線方程為y=ln2﹣1．
（Ⅱ） ．
①當a≤0時，a﹣1≤﹣1，又x∈（﹣1，+∞），
∴x﹣（a﹣1）＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上為增函數，
又∵f（0）=0，∴當﹣1＜x＜0時，f（x）＜0，與題意不符．
②當a＞0，令f′（x）=0，得x=a﹣1＞﹣1，
且﹣1＜x＜a﹣1時，f′（x）＜0，x＞a﹣1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=a﹣1時有極小值，也是最小值，
∴f（x）min=f（a﹣1）=lna﹣a+1≥0，
記g（x）=lnx﹣x+1，則 ，
令g′（x）=0，得x=1，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當x＞1時，g′（x）＜0，
∴g（x）在x=1處有極大值就是最大值為g（1）=0，
∴lna﹣a+1最大值為0，
又lna﹣a+1≥0，故a=1，
即當且僅當a=1時f（x）≥0恒成立
【解析】（Ⅰ）當a=2時， ， f（1）=ln2﹣1，k=f′（1）=0，由此能求出切線方程．（Ⅱ） ，由此利用導數性質和分類討論思想能求出當且僅當a=1時f（x）≥0恒成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．